朱世杰（约13－14世纪），元代杰出数学家，字汉卿，号松庭。著有《算学启蒙》三卷（1299年）、《四元玉鉴》三卷（1303年），对于多元高次方程组的解法，高阶等差和招差术（有限差分）都有独特地研究，取得重要成就。值得一提的是九归歌诀在他的书中已基本确定下来，这为珠算的产生在算理算法上提供了充足的条件。

　　《算学启蒙》共三卷（1299年），全书分二十门，共259题，书留头乘法在算书中首次出现，并在杨辉三十二句九归口诀的基础上，增加到三十六句，这与流传至今的珠算归除歌诀几乎完全一致。

　　《四元玉鉴》共三卷（1303年），全书分二十四门，共二百八十八题，是用“天元术”解答的。书中讲座了高次方程组的消去法，有高级等差数级数有限项求和问题，以及高次差的招差法等。《四元玉鉴》是中国数学著作中非常重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。

《算学启蒙》介绍

算学启蒙上中下三卷，元大德己亥(1299年）朱世杰撰，共20门，凡259问，所采用的名词术语，多与《四元玉鉴》为表里，由卷首列的筹算布列规则，直到天元术，由浅入深，循序渐进，名为启蒙，实为《四元玉鉴》的导引。《算学启蒙》卷首有淮杨数学家赵元镇的序。赵元镇也曾出资替朱世杰刻印《四元玉鉴》本书包括了从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程术等当时数学各方面的内容，由浅入深，形成了一个较完整的体系。正文前，列出了九九歌诀、归除歌诀、斤两化零歌、筹算识位制度、大小数进位法、度量衡制度、圆周诸率、正负数加减乘法法则、开方法则等18条作为总括，作为全书的预备知识，其中正负数乘法法则不仅在中国数学著作中，在世界上也是首次出现。许多歌诀比杨辉的更加完整准确，有的已与现代珠算口诀几乎完全一致。这是中国数学著作中第一次出现的与现今一致的口诀。

本书的正文分3卷，20门，259问。卷上8门，113问，包括各种乘除捷算法和歌诀的应用题，以及各种比例算法。许多问题反映了元代的社会经济情况。卷中7门，71问，是面积、体积及各种算术问题。卷下5门，75问，是关于分数运算、垛积（即高阶等差级数求和）、盈不足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题。还处理了开方过程中系数变号的问题。

《算学启蒙》是一部很好的数学教材，它把当时的初级和中级数学知识从乘除口诀开始，包括面积、体积、比例、开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类，由浅入深，循序渐进，自成系统，确是一部很好的数学启蒙读物。此书曾传至朝鲜、日本，朝鲜有李朝世宗十五年（1433）的庆州府刻本，清顺治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清罗士琳诸人闻此书，遂请人于北京寻获金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在扬州刊刻，后来诸版皆依此。

《算学启蒙》总括

《总括》为全书的预备知识，包括各种口诀，释九数法，九归除法……明开方法等共18项[3]。

　　释九数法 —一如一，一二如二，二二如四。一三如三，二三如六，三三如九。一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六。一五如五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九。一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四。一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。 

　　九归除法 一归如一进，见一进成十。二一添作五，逢二进成十。三一三十一，三二六十二，逢三进成十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十。五归添一倍，逢五进成十。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进成十。七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十。八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进成十。九归随身下，逢九进成十。 

　　斤下留法 一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留单五，九留五六二五，十留六二五，十一留六八七五，十二留七五，十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。 

　　明纵横诀 

　　一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当。满六已上，五在上方。六不积聚，五不单张。言十自过，不满自当。若明此诀，可习“九章”。 

　　大数之类 

　　一、十、百、千、万、十万、百万、千万，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙，万万恒河沙曰阿僧祗，万万阿僧祗曰那由他，万万那由他曰不可思议，万万不可思议曰无量数。 

　　小数之类 

　　一、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙。万万尘曰沙，万万埃曰尘，万万渺曰埃，万万漠曰渺，万万模糊曰漠，万万逡巡曰模糊，万万须臾曰逡巡，万万瞬息曰须臾，万万弹指曰瞬息，万万刹那曰弹指，万万六德曰刹那，万万虚曰六德，万万空曰虚，万万清曰空，万万净曰清。千万净，百万净，十万净，万净，千净，百净，十净，一净。 

　　求诸率类 

　　两求铢二十四乘，铢求两二十四除。斤求两身外加六，两求斤身外减六。秤求斤身外加五，斤求秤身外减五。据物卖钱而用乘，据钱买物而用除。 

　　斛斗起率 

　　量起于圭，十圭谓之一撮，十撮谓之一抄，十抄谓之一勺，十勺谓之一合，十合谓之一升，十升谓之一斗，十斗谓之一斛。 

　　斤秤起率 

　　衡起于黍。十黍谓之一絫，十絫谓之一铢，六铢谓之一分，四分谓之一两，十六两谓之一斤，十五斤谓之一秤，三十斤谓之一钧，四钧谓之一硕。 

　　端匹起率 

　　度起于忽。十忽谓之一丝，十丝谓之一毫，十毫谓之一厘，十厘谓之一分，十分谓之一寸，十寸谓之一尺，十尺谓之一丈。 

　　匹率。端率。 

　　田亩起率 

　　田起于忽。十忽谓之一丝，十丝谓之一毫，十毫谓之一厘，十厘谓之一分，十分谓之一亩，百亩谓之一顷。三百步谓之一里。 

　　古法圆率 

　　周三尺，径一尺。 

　　刘徽新术 

　　周一百五十七尺，径五十尺。 

　　冲之密率 

　　周二十二尺，径七尺。 

　　明异名诀 

　　二分之一为中半，三分之一为少半，三分之二为太半，四分之一为弱半，四分之三为强半。 

　　明正负术 

　　其同名相减，则异名相加；正无入负之，负无入正之。其异名相减，则同名相加；正无入正之，负无入负之。 

　　明乘除段 

　　长平相并曰和，长平相减曰较。长平相乘曰积，自相称之曰幂。同名相乘曰正，异名相乘为负。平除长为小长，长除平为小平。小长平相并曰小和，小长平相减余小较，小长平相乘得一步为小积。 

　　明开方法 

　　置积为实，及方廉隅，同加异减开之。 

　　纵横因法 

　　此法从来向上因，但言十者过其身，呼如本位须当作，知算纵横数目真。 

　　身外加法 

　　算中加法最堪夸，言十之时就位加，但遇呼如身下列，君从法式定无差。 

　　留头乘法 

　　留头乘法别规模，起首先从次位呼，言十靠身如隔位，通临头位破身铺。 

　　身外减法 

　　减法根源必要知，即同求—一般推，呼如身下须当减，言十从身本位除。 

　　九归除法门 

　　实少法多从法归，实多满法进前居。常存除数专心记，法实相停九十余。但遇无除还头位，然将释九数呼除。流传故泄真消息，求一穿韬总不如。

《四元玉鉴》介绍

《四元玉鉴》是朱世杰阐述多年研究成果的一部力著。全书共分3卷，24门，288问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题（需设立四个未知数者）有7问，三元者13问，二元者36问，一元者232问。卷首列出了贾宪三角等四种五幅图，给出了天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例；后三者分别是二元、三元、四元高次方程组的列法及解法。创造四元消法，解决多元高次方程组问题是该书的最大贡献，书中另一个重大成就是系统解决高阶等差级数求和问题和高次招差法问题。

在朱世杰之前，古代中国数学已有了解方程的方法———“天元术”，“天元术”解方程是设“天元为某某”，某某就是（x）。朱世杰不仅继承沿用了天元术，方程组解法由二元、三元推广至四元。未知数不止一个时，除设未知数天元（x）外，还设地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，然后求解。在欧洲，解联立一次方程始于16世纪，关于多元高次联立方程的研究则是18、19世纪的事了，朱世杰的“天元术”比欧洲早了400多年。

朱世杰对“垛积术”的研究，实际上得到了高阶等差级数求和问题的普遍的解法。自宋代起我国就有了关于高阶等差级数求和问题的研究，沈括（1031-1095年）和杨辉（1261-1275年）的著作中，都有垛积问题，这些垛积问题有一些就涉及高阶等差级数，朱世杰在《四元玉鉴》中又把这一问题的研究进一步深化，得到了一串三角垛的公式。

《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作。现代数学史研究者对《四元玉鉴》给予了高度评价。著名科学史专家乔治·萨顿说，《四元玉鉴》“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。编著《中国科学技术史》的李约瑟这样评价朱世杰和《四元玉鉴》：“他以前的数学家都未能达到这部精深的著作中所包含的奥妙的道理”。

朱世杰之后，元代再无高深的数学著作出现，汉唐宋元的数学著作很少有新的刻本，很多甚至失传了。乾隆三十七年(1772年)开《四库全书》馆时，挖掘了不少古代数学典籍，朱世杰的著作却未被发现，因此，起初没有编入；1799年阮元、李锐等人编纂数学家传记《畴人传》时，也未介绍《四元玉鉴》。之后不久，阮元在浙江访得此书，旋即将其编入《四库全书》，并把抄本交给李锐校算（未校完），后由何元锡按此抄本刻印，这是《四元玉鉴》1303年初版以来的第一个重刻本。1839年扬州学者罗士琳经多年研究之后，出版了他所编著的《四元玉鉴细草》，罗氏对《四元玉鉴》书中每一问题都作了细草。就在罗士琳翻刻《四元玉鉴》时，《算学启蒙》也还无着落。后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”，于是请人在北京找到了顺治十七年（1660年）朝鲜全州府尹金始振所刻的翻刻本，这样，《算学启蒙》又在扬州重新刊印出版，这就是该书现存各种版本的母本。

元代朱世杰这两部杰出的数学著作都是在扬州完成、刻印的，失传了几百年后，它们又被扬州学者发现、校算、注释，并在扬州重新刻印出版，仅此可见，扬州在我国数学发展史上有着十分重要的地位。