珠算名家名著:宋朝杨辉著《详解九章算术》、《杨辉算法》

杨辉(约十三世纪),南宋数学家,字谦光,浙江钱唐人。著有《详解九章算术》(1274)十二卷,《日用算法》(1262)二卷,《乘除通变算宝》(1274)三卷,《田亩比类乘除捷法》(1275)二卷,《读古摘奇算法》(1275)二卷,他的“循序渐进与熟读精思”的教育思想,以及有名的“习算纲目”是我国数学教育兄长中一项重要的文献。
  《详解九章算术》共十二卷。书中最早提出了“杨辉三角”这一定理,在卷一中有乘除,有九归歌诀,虽与后来的九归歌诀还完全一致,但已有很多类似之处,对除数是两位数时,他编出“穿除”或叫“飞归”,后人在此基础上完成了和现代珠算通常使用的九归歌诀。
  《杨辉算法》实际上是三部书,即《乘除通变算定》、《续古摘奇算法》、《田亩比类乘除捷法》,其中《乘除通变算宝》又分上中下三卷,分别是《乘除通变本末》、《乘除通变算宝》、《法算取用本末》;在算理算法上,书中叙述了“单因”、“身前因”、“相乘”、“重乘”等许多简捷算法,详细叙述了补数体系的简陋除各法,开我国在计算中引入补数的先河。在书中提出“飞归”的名目,其八十三归使用法与后来珠算“飞归”是一致的,书中列出的复杂的纵横图对后人研究珠算颇有影响。


《详解九章算法》内容介绍


留世版本

《详解九章算法》现传本已非全帙,编排也有错乱。从其序言可知,该书乃取魏刘微注、唐李淳风等注释、北宋贾宪细草的《九章算术》中的80问进行详解。在《九章算术》9卷的基础上,又增加了3卷,一卷是图,一卷是讲乘除算法的,居九章之前;一卷是纂类,居书末今卷首图、卷l乘除,卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰诸题、卷6商功的诸同功问题已佚。卷4衰分下半卷、卷5少广存《永乐大典》残卷中,其余存《宜稼堂丛书》中。

主要内容

从残本的体例看,该书对《九章算术》的详解可分为:一、解题。内容为解释名词术语、题目含义、文字校勘以及对题目的评论等方面。二、明法、草。在编排上,杨辉采用大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来。三、比类。选取与《九章算术》中题目算法相同或类似的问题作对照分析。四、续释注。在前人基础上,对《九章算术》中的80问进一步作注释。杨辉的“纂类”,突破《九章算术》的分类格局,按照解法的性质,重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。

内容摘要

杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角”。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
.....................................

杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。


《杨辉算法》的基本介绍


比类乘除捷法


《田亩比类乘除捷法二卷。卷上叙述长田形,圭田,斜田,圆田,环田,苑田和丘田的面积计算以及圭垛、梯形垛、方箭、圆箭等数列求和  。
《杨辉算法》书影《杨辉算法》书影

乘除通变算宝


《乘除通变算宝》三卷。

卷上

《算法通变本末》
  • 《习算纲目》,杨辉为学员制定的学习纲目和时间表,例如 “学相乘起例定位 功课一日”,“温习九归题目 一日”;“开方乃算法中大节目”,用两月演习题目等  。
  • 商用乘除算题;此卷详细叙述六种乘法和五种速算加法。
六种速算乘法
    • 单因乘:一位数的乘法; 例子:以 乘8 代替 除 12.5
      • 重因乘:一位数因子乘法; 例子: 274 x 48 =274 x 6 x8
      • 身前乘:用于乘数个位=1的乘法,例子 232 x 31 = 232 x 30 +232
      • 损乘:减法乘: x9 代以 -1, 乘8 代以 -2
      • 相乘;
      • 重乘:
      • 因子乘;
    五种速算加法
    • 加一位法,用于乘法 11 至 19 例:274 * 16 = 274 * 10 + 274 *6, 即 将274 *6 + 274 左移一位 ( = * 10)
    • 加二位法,用于乘数 111 至 119,例:274 * 116 = 274 左翼二位 + 274 左移一位 + 275 *6 = 27400 +2740 +274*6
    • 加隔位法,用于乘数101 至 109
    • 重加
    • 连身加,用于乘数 21-29
    五种速算减法
    • 减一位
    • 减二位
    • 重减
    • 隔为减

    卷中

    《乘除通变算宝》
    叙述乘除通变算宝,和筹算速算法,包括加法乘、九归新括   。

    卷下

    《法算取用本末》
    是前两卷所述各种方法的应用题例,1-300筹算速算法。用代数方法建立二至四次方程从已知面积求线段 [4]  .

    续古摘奇算法


    杨辉纵横图杨辉纵横图
    卷上叙述纵横图、幻方、幻圆;求年内日甲,地支逢宿、甲子逢宿;数列求和,量仓法,面积速算等   。
    • 纵横图:洛书,河图,四四图,五五图,六六图,六十四图,九九图,百子图,聚五图,聚六图,聚八图,攒九图,八阵图,连环图。
    • 杨辉九九图
    杨辉九九图杨辉九九图
    • 杨辉百子图
    • 杨辉八阵图
    • 杨辉攒九图
    • 杨辉连环图
    • 三五七数二问,七八九数,十一十二十三,三五七九,六十甲子纳音,求年内日甲子积数,地支逢宿,甲子逢宿,量仓法,共卖纱绢等。
    杨辉攒九图杨辉攒九图
    杨辉八阵图杨辉八阵图
    杨辉百子图杨辉百子图
    卷下叙述二次方程求解,鸡兔同笼,百鸡问题;乘除速算,盈不足,方圆论和海岛问题等19问。
    • 三鸡折直,三果共价,方金求重,移动图片
    • 开河问积,河上荡杯,引绳量木,贼人盗绢盈不足,方圆总论,隔水望木(海岛)等。


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