珠算名家名著:魏晋刘徽著《九章算术注》、《海岛算经》

   刘徽(250-?),魏晋时期著名数学家,山东淄乡(今临淄或淄川一带)人。魏景元年(公元263年)注《九章算术》九卷。他在注释中有很多创见,尤其用割圆术来计算圆周率的方法,含有极限概念,这是他的一个伟大创造,他正确计算出圆内接正3072边形的面积,从而得出∏=3.1416的数学成就。
  《海岛算经》原名《重差》,附于刘徽所注《九章算术》之后。唐初这一卷单行,由于他的第一题是测量海岛的高和远的问题,因而得名,改称《海岛算经》。书中所收集的都有是两次或多次测望所得。在算理算法方面主要运用重差。这部书显示了我国古代测量数学的进步和发展。
  刘徽不仅是中国数学史上一个非常伟大的数学家,而且在世界数学史上也占有重要地位。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产。 

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中国的欧几里德——刘徽

  在我国古代数学名著《九章算术》中 ,共收入了246个数学问题及其解法,但对其中用到的公式 、定理却没有给出证明 。魏晋时数学家刘徽(225—295)为《九章》作注,对其中的重要数学概念分别给以定义;对公式、定理一一加以证明;对解题过程详加分析,体现了严谨的逻辑思维和深刻的数学思想,为中国古代数学奠定了坚实的理论基础,堪与欧几里德对古希腊数学的总结和整理相媲美。

  刘徽在数学上有许多杰出的创造。他精辟地研究了开方不尽数,用首创的十进分数(小数的前身)来刻划它们,向着无理数的认识迈出了重要的一步。为证明圆面积公式,他独立地创造了割圆术,从圆内接正六边形开始,以边数逐次倍增的圆内接正多边形的面积去逼近圆面积 ,为200年后祖冲之的圆周率计算提供了理论与方法上的准备。为了求得由底为直角三角形的直棱柱分割而成的一个四棱锥与一个三棱锥的体积之比,他采用无限分割、逐次拼合的方法建立了“刘徽原理”。在研究各种体积问题时,他又创造性地运用两立体图形相应截面面积之间的关系来确定它们体积之间的关系,200 多年后被祖暅(祖冲之的儿子)概括为著名的“刘祖原理”。此外,他对《九章》中的分数理论、比率理论、方程理论、勾股理论也 都做出了重要推进。他又著有《海岛算经》,为传统的二次测量方法—— 重差术重建理论基础,并将其发展为三次、四次测量。

  刘徽以其对数学的杰出贡献,当之无愧地成为公元3 世纪世界上最杰出的数学家。


《九章算术》是以问题集的形式编成的,对于问题的解法和结论缺少必要的文字说明。公元三世纪的大数学家刘徽为《九章算术》作了注,弥补了原书的不足,使我国古代数学体系走向成熟。
    在《九章算术注》中,刘徽精辟地阐明了各种解题方法的原理,给出了简要的证明,且指出了某些近似解法的精确程度和个别解法的错误。尤其可贵的是,他开创了一些被后世长期使用的普遍数学方法,这些方法主要包括割圆术、齐同术、今有术、图验及棋验法、重差法等。
    割圆术为圆周率的求得建立了有效的理论算法,是刘徽最重要的数学贡献。其原理是,在圆内作内接正多边形,然后用正多边形的面积近似值代表圆面积,进而求得圆周率的近似值。割圆术继承了前人的极限思想,方法上又极其精妙。
    今有术是从一个已有量(“今有”量)出发,通过比例求得未知量的方法。
    齐同术就是分数计算中的通分方法,刘徽认为,“凡(分)母互乘(分)子谓之齐,群母相乘谓之同”。分数要进行加减运算,必须有同样的分母,做到“同”(通分),还要使每一个分数的分子与分母同步扩大,做到“齐”,即“母同子齐”,分数才能加减。刘徽还将齐同术用在联立方程组的解法中,提出了互乘消元法,使消元过程得以简化。
    图验法是求平面图形面积的方法,说到底是一种“以盈补虚”的拼凑法。除面积计算外,刘徽还利用平面图形的分割与组合,成功地证明了勾股定理、勾股弦及它们的和差互推、开方法等问题。
    棋验法与图验法本质上是一回事,图验法是平面图形的分解与拼凑,而棋验法是立体模型(即“棋”)的分解与拼凑。刘徽以此法解决各种立体图形的体积求解问题。
    《重差》原为《九章算术注》的第十卷,即后来的《海岛算经》,内容是测量目标物的高和远的计算方法。重差法是测量数学中的重要方法。
    刘徽的数学贡献涉及众多领域,他对弧田面积、圆锥体积、球体积、无理数、解方程等问题都有深入的研究。他在特殊的解法基础上,抽象出问题的共性,开创了出入相补、极限逼近等流传千古的普遍思想方法;而且,他以图形和模型来说明文字,把具体操作与理论紧密结合在一起,使中国数学重实践的传统转化为有效的科学工具。所有这些表明,在刘徽生活的时代,中国古代数学的内容、方法、风格均已走向了成熟。


《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量学著作,原为《刘徽九章算术注》第九卷勾股章内容的延续和发展,名为《九章重差图》,附于《刘徽九章算术注》之后作为第十章。唐代将《重差》从《九章》分离出来,单独成书,按第一题“今有望海岛”,取名为《海岛算经》,是《算经十书》之一。

刘徽《海岛算经》“使中国测量学达到登峰造极的地步”,使“中国在数学测量学的成就,超越西方约一千年”(美国数学家弗兰克·斯委特兹语)


《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望,取测量所得的差数,进行计算从而求得山高或谷深,这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中,从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子,“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸;1里=180丈=1800尺;1丈=10尺:1步=6尺,1尺=10寸。


望海岛

今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末三合。从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末三合。问岛高及去表各几何? 答曰:岛高四里五十五步;去表一百二里一百五十步。 术曰:以表高乘表间为实;相多为法,除之。所得加表高,即得岛高。求前表去岛远近者:以前表却行乘表间为实;相多为法。除之,得岛去表里数。


由于前表去岛的距离不能直接测量,刘徽用同样高度的表杆前后测量,表杆与地面垂直,人眼贴地,望表杆顶和岛上山顶对齐,这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”DG=123步;再将表杆往后移动,两表杆间距称为“表间”=1000步,依法测出“后表却行”FH=127步。

表高 =CD

前表却行=DG

后表却行=FH

相多=FH-DG

表间=DF

岛高=AB

前表去岛远近=BD

依法得岛高 AB=

依法得前表去岛远近 BD=


望松生山上

今有望松生山上,不知高下。立两表齐,高二丈,前后相去五十步,令后表与前表三相直。从前表却行七步四尺,薄地遥望松末,与表端三合。又望松本,入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺,薄地遥望松末,亦与表端三合。问松高及山去表各几何? 答曰:松高一十二丈二尺八寸;山去表一里二十八步、七分步之四。术曰:以入表乘表间为实。相多为法,除之。加入表,即得松高。求表去山远近者:置表间,以前表却行乘之为实。相多为法,除之,得山去表。

CD EF 表示前后两支表杆,前表杆有刻度,用作两次测量,第一次从G点瞄准A、C两点成直线,第二次从G点校准树根J,读出前表杆上度数(入表)。

表高 =CD=2丈

前表却行=DG=7步4尺

后表却行=FH=8步5尺

相多=FH-DG

表间=DF=50步

松高=AJ

前表去山远近=BD

入表=CK=二尺八寸

松高=AJ=

前表去山远近=BD=


南望方邑

今有南望方邑,不知大小。立两表东、西去六丈,齐人目,以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅三相直。当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相三合。问邑方及邑去表各几何? 答曰:邑方三里四十三步、四分步之三;邑去表四里四十五步。 术曰:以入索乘后去表,以两表相去除之,所得为景差;以前去表减之,不尽以为法。置后去表,以前去表减之,余以乘入索为实。实如法而一,得邑方。求去表远近者:置后去表,以景差减之,余以乘前去表为实。实如法而一,得邑去表。

由于待测的方城宽度AB,在东西方向,与地面平行,因此两支在C点D点插入地面与地面垂直的表杆,在此不用作直接测量,测量是依靠一根拴在C、D两根垂直表杆中间的一条水平测量绳索CD完成的。此题中一根水平测量绳作两次测量用。

景差 =入表* 后去表/ 表相去。


望深谷

今有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺。从勾端望谷底,入下股九尺一寸。又设重矩于上,其矩间相去三丈。更从勾端望谷底,入上股八尺五寸。问谷深几何?答曰:四十一丈九尺。术曰:置矩间,以上股乘之,为实。上、下股相减,余为法,除之。所得以勾高减之,即得谷深。

山谷深=(距间 × 上股)/(下股-上股)-句高。


登山望楼

今有登山望楼,楼在平地。偃矩山上,令句高六尺。从句端斜望楼足,入下股一丈二尺。又设重矩于上,令其间相去三丈。更从句端斜望楼足,入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会,复从句端斜望楼岑端,入小表八寸。问楼高几何? 答曰:八丈。 术曰:上下股相减,余为法;置矩闲,以下股乘之,如句高而一。所得,以入小表乘之,为实。实如法而一,即是楼高。

楼高=(距间 * 下股)* (入小表)/句高/(下股-上股)。


南望波口

今有东南望波口,立两表南、北相去九丈,以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈,薄地遥望波口南岸,入索北端四丈二寸。以望北岸,入前所望表里一丈二尺。又却后行1去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸,与南表三合。问波口广几何?答曰:一里二百步。 术曰:以后去表乘入索,如表相去而一。所得,以前去表减之,余以为法;复以前去表减后去表,余以乘入所望表里为实,实如法而一,得波口广。

此题中一根水平测量绳,作三次测量用。


望清渊

今有望清渊,渊下有白石。偃矩岸上,令句高三尺。斜望水岸,入下股四尺五寸。望白石,入下股二尺四寸。又设重矩于上,其间相去四尺。更从句端斜望水岸,入上股四尺。以望白石,入上股二尺二寸。问水深几何? 答曰:一丈二尺。 术曰:置望水上下股相减,余以乘望石上股为上率。又以望石上下股相减,余以乘望水上股为下率。两率相减,余以乘矩间为实;以二差相乘为法。实如法而一,得水深。又术:列望水上下股及望石上下股,相减,余为法。以望石下股减望水下股,余以乘矩间为实,实如法而一,得水深。

A标志水岸,S标志白石,C标志岸边;句是古代测量用具之一,有两个边成直角(如今三角板):使用时句的一边务必与地面垂直。此题用两个句,一个在C,一个在D,各测量水岸和水底白石。此题用四次测望术。


登山望津

今有登山望津,津在山南。偃矩山上,令句高一丈二尺。从句端斜望津南岸,入下股二丈三尺一寸。又望津北岸,入前望股里一丈八寸。更登高岩北,却行二十二步,上登五十一步,偃矩山上。更从句端斜望津南岸,入上股二丈二尺。问津广几何? 答曰:二里一百二步。 术曰:以句高乘下股,如上股而一。所得以句高减之,余为法;置北行,以句高乘之,如上股而一。所得以减上登,余以乘入股里为实。实如法而一,即得津广。


登山临邑

今有登山临邑,邑在山南。偃矩山上,令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅三相直。从勾端遥望东北隅,入下股一丈二尺。又施横勾于入股之会,从立勾端望西北隅,入横勾五尺。望东南隅,入下股一丈八尺。又设重矩于上,令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅,入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何? 答曰:南北长一里一百步;东西广一里三十三步、少半步。术曰:以勾高乘东南隅入下股,如上股而一,所得减勾高,余为法;以东北隅下股减东南隅下股,余以乘矩间为实。实如法而一,得邑南北长也。求邑广:以入横勾乘矩间为实。实如法而一,即得邑东西广。

此题用四次测望术



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